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Exponentielles Populationswachstum

Exponentielles Wachstum

von Ulrich Helmich (www.u-helmich.de)

Bakterien der Art Escherichia coli können sich unter optimalen Bedingungen alle 20 Minuten teilen. Aus einem Individuum werden nach 20 Minuten zwei, nach 40 Minuten vier, nach einer Stunde acht, und so weiter. Schauen wir uns mal eine graphische Darstellung des Populationswachstums von Escherichia coli an.

Ich habe hier mit einer Tabellenkalkulation die Entwicklung einer E. coli-Kolonie über einen Zeitraum von zehn Stunden berechnen und graphisch darstellen lassen. Nach zehn Stunden gibt es bereits 1.073.741.824 Zellen.

Hier sehen wir auch gleich etwas ganz Typisches für das exponentielle Wachstum: Am Anfang sieht das Wachstum total harmlos aus, man könnte fast von einem Nullwachstum sprechen - was natürlich auch an dem hier verwendeten Maßstab liegt. Erst nach ca. acht Stunden sieht man ein deutliches Wachstum, das sich dann immer mehr steigert.

Exponentielles Wachstum fängt zunächst "ganz harmlos" an, wird dann aber immer stärker, bis es schließlich "hochschießt".

Wie kommt es dazu, dass das exponentielle Wachstum so langsam anfängt, sich dann aber immer mehr steigert, bis es schließlich "hochschießt"?

Betrachten Sie dazu bitte die folgende Graphik:

In der Spalte N ist das Populationswachstum von E. coli dargestellt. In der nächsten Spalte finden wir die Differenzen aufgelistet, also die Zahl der Zellen, um die die Population in dem Zyklus (20 Minuten) jeweils gewachsen ist. Mathematisch gesehen, zeigt uns die zweite Spalte die erste Ableitung des Populationswachstums. Auffällig ist nun, dass die erste Ableitung des exponentiellen Populationswachstums ebenfalls exponentiell ist. Auch die zweite Ableitung ist eine exponentielle Funktion, ebenso die dritte und jede weitere Ableitung. Dies ist die Ursache für das enorme Ansteigen der Werte.

Bei einem exponentiellen Wachstum ist die erste Ableitung ebenfalls exponentiell, genauso wie die zweite, dritte und jede weitere Ableitung.

Dies ist die Ursache für das enorme Ansteigen der Werte.

Die Mächtigkeit des exponentiellen Wachstums

Sie denken jetzt sicherlich: Gut, wenn sich die Population in jedem Zeitabschnitt verdoppelt, kommen solche mächtigen Entwicklungen heraus. Aber in der Natur verdoppelt sich eine Population ja nicht in 20 Minuten, auch nicht in 20 Tagen - oder doch?

Egal - wenn die Umweltbedingungen günstig für Populationswachstum sind, verdoppelt sich die Populationsgröße irgendwann. Typisch für exponentielles Wachstum ist nun, dass die Verdopplungszeit konstant ist. Schauen wir uns dazu ein Experiment mit einer Tabellenkalkulation an. Als Wachstumsrate habe ich hier den Wert w = 0,1 gewählt. Eine Population von 100 Tieren wächst also pro Zyklus um 10 Individuen. Hier die Populationsentwicklung:

Ich habe dann die Verdopplungszeiträume gekennzeichnet. Sie sehen, die zeitlichen Abstände zwischen den Verdopplungen sind konstant; in unserem Beispiel jeweils sieben Zyklen.

Die Menschheit ist übrigens nicht exponentiell angewachsen. Sie ist hyperexponentiell gewachsen: Der Zeitraum für eine Verdopplung wurde immer kleiner.

Egal, wie groß die Wachstumsrate ist, verdoppelt sich bei einem exponentiellen Wachstum irgendwann der Wert.

Die Abstände zwischen den Verdopplungen sind dann konstant.

Noch mehr Mathematik

Eine Differentialgleichung definiert eine Funktion nicht auf die übliche Weise wie zum Beispiel:

f(x) = x2

sondern über die erste Ableitung:

dy/dx = 2*x

Dies wäre die Differentialgleichung für eine quadratische Funktion. Entsprechend könnte man ein quadratisches Populationswachstum folgendermaßen definieren:

dN/dt = k*t

Die erste Ableitung des Wachstum nimmt also konstant mit der Zeit zu.

Die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum ist sehr einfach:

dN/dt = k*N

Je größer die Individuenzahl N, desto größer der Zuwachs dN/dt.

Die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum ist sehr einfach:

dN/dt = k*N

Zusammenfassung:

Exponentielles Wachstum erfolgt nach der Differentialgleichung

dN/dt = k * N

Je größer also die Population bereits ist, desto größer ist auch der Populationszuwachs. Die Wachstumsrate k allerdings bleibt konstant, ebenso wie der Verdopplungszeitraum, der von k abhängt: Je größer k, desto kleiner der Verdopplungszeitraum.

Weitere Seiten zum Populationswachstum:

Wachstum der Menschheit

Logistisches Populationswachstum





(C) Ulrich Helmich, April 2012





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