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Exponentielles Populationswachstum

Exponentielles Wachstum

"Abhängig vom Organismus und den Kulturbedingungen, kann die Generationszeit von Einzellern ca. 15 Minuten (thermophile Bakterien), mehrere Stunden (z.B. nitrifizierende Bakterien) oder mehrere Tage betragen".

Quelle: Spektrum Lexikon der Biologie, Stichwort "mikrobielles Wachstum"

Bakterien der Art Escherichia coli können sich unter optimalen Bedingungen alle 20 Minuten teilen. Aus einem Individuum werden nach 20 Minuten zwei, nach 40 Minuten vier, nach einer Stunde acht, und so weiter. Schauen wir uns mal eine graphische Darstellung des Populationswachstums von Escherichia coli an:

Berechnung des Populationswachstums von E. coli für 20 Generationen

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Ich habe hier mit einer Tabellenkalkulation die Entwicklung einer E. coli-Kolonie über einen Zeitraum von zwanzig Generationen (also gut sechs Stunden) berechnen und graphisch darstellen lassen. Nach gut sechs Stunden gibt es bereits eine halbe Million Zellen, 20 Minuten später ca. 1 Million Zellen.

"Würden Bakterien ungehemmt exponentiell wachsen und sich vermehren, so wäre von einem typischen Bakterium (Volumen 1 μm3, Verdopplungszeit alle 20 Minuten) in 50 Stunden das Volumen der Tochterzellen bedeutend größer als das Volumen der Erde (ca. 1012 km3)."

Quelle: Spektrum Lexikon der Biologie, Stichwort "mikrobielles Wachstum"

Hier sehen wir auch gleich etwas ganz Typisches für das exponentielle Wachstum: Am Anfang sieht das Wachstum total harmlos aus, man könnte fast von einem Nullwachstum sprechen - was natürlich auch an dem hier verwendeten Maßstab liegt. Erst nach ca. vier Stunden sieht man ein deutliches Wachstum, das sich dann immer mehr steigert.

Wie kommt es dazu, dass das exponentielle Wachstum so langsam anfängt, sich dann aber immer mehr steigert, bis es schließlich "hochschießt"?

Betrachten Sie dazu bitte die folgende Tabelle:

Die Geschwindigkeit des Wachstums nimmt ebenfalls exponentiell zu, ebenso die 2. und die 3. Ableitung der Populationsgröße

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In der Spalte N ist das Populationswachstum von E. coli dargestellt. In der nächsten Spalte finden wir die Differenzen aufgelistet, also die Zahl der Zellen, um die die Population in dem Zyklus (20 Minuten) jeweils gewachsen ist. Mathematisch gesehen, zeigt uns die zweite Spalte die erste Ableitung des Populationswachstums. Auffällig ist nun, dass die erste Ableitung des exponentiellen Populationswachstums ebenfalls exponentiell ist. Auch die zweite Ableitung ist eine exponentielle Funktion, ebenso die dritte und jede weitere Ableitung. Dies ist die Ursache für das enorme Ansteigen der Werte.

Die Mächtigkeit des exponentiellen Wachstums

Sie denken jetzt sicherlich: Gut, wenn sich die Population in jedem Zeitabschnitt verdoppelt, kommen solche mächtigen Entwicklungen heraus. Aber in der Natur verdoppelt sich eine Population ja nicht in 20 Minuten, auch nicht in 20 Tagen - oder doch?

Egal - wenn die Umweltbedingungen günstig für Populationswachstum sind, verdoppelt sich die Populationsgröße irgendwann nach einer bestimmten Zeit. Typisch für exponentielles Wachstum ist nun, dass die Verdopplungszeit konstant ist. Schauen wir uns dazu ein Experiment mit einer Tabellenkalkulation an. Als Wachstumsrate habe ich hier den Wert w = 0,1 gewählt. Eine Population von 100 Tieren wächst also pro Zyklus um 10 Individuen. Hier die Populationsentwicklung:

Konstante Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum

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Ich habe dann die Verdopplungszeiträume gekennzeichnet. Sie sehen, die zeitlichen Abstände zwischen den Verdopplungen sind konstant; in unserem Beispiel jeweils sieben Zyklen.

Die Menschheit ist übrigens nicht exponentiell angewachsen. Sie ist hyperexponentiell gewachsen: Der Zeitraum für eine Verdopplung wurde immer kleiner.

Wachstum der Menschheit

Im Jahre 1804 lebten eine Milliarde Menschen auf der Erde, im Jahre 1927 verdoppelte sich die Zahl auf zwei Milliarden. Der Verdopplungszeitraum belief sich auf 123 Jahre.

Im Jahre 1974 gab es bereits vier Milliarden Menschen auf der Erde, der Verdopplungszeitraum betrug jetzt nur noch 47 Jahre.

Zur Zeit (5.2.2018) gibt es 7.479.166.000 Menschen, nächstes Jahr (2019) wird die Zahl vermutlich auf 8 Milliarden gewachsen sein. Der Verdopplungszeitraum beträgt jetzt also 44 Jahre, das ist nochmals eine Beschleunigung des Wachstums. Aber scheinbar nähert sich das Wachstum der Menschheit einem exponentiellen Wachstum an, also einem Wachstum mit konstanter Verdopplungszeit. Das ist ja schon mal beruhigend (Achtung: Sarkasmus!).

Das stärkste Bevölkerungswachstum gibt es in den Entwicklungsländern, während in den meisten Industrieländern das Bevölkerungswachstum stagniert oder sogar negativ verläuft.

Auf der Seite www.census.gov/popclock können Sie der Menschheit beim Wachsen regelrecht zusehen.